III Loi de Hooke

II.1 Définition

Cette loi met en évidence la proportionnalité entre contraintes et déformations dans les solides lorsque les déformations sont faibles. Dans le cas des milieux homogènes et isotropes, les relations entre contraintes et déformations dépendent seulement de deux paramètres : λ et µ appelées constantes de Lamé.

La loi de Hooke s'écrit alors : σ ij = λ θ δ ij + 2µ eij

Avec :
σ ij : contrainte sur un axe (avec i (x,y,z) et j(x,y,z))
θ : dilatation volumique.
δ ij: Symbole de Kronecker (δ=1 si i=j, δ ij=0 si i différent de j).
λ et µ sont les constantes de Lamé (paramètres élastiques).



II.1 Modules élastiques



Les modules élastiques sont déterminés soit par des expériences de traction-compression (déformation statique) soit par la mesure des vitesses de propagation des ondes sismiques (déformation dynamique). Ces paramètres sont des constantes caractérisant les propriétés élastiques du milieu.

Dans le cas d'un milieu homogène et isotrope, deux paramètres élastiques choisis parmi les suivants suffisent à le définir.



Le paramètre de Lamé λ

Mesure le rapport de la contrainte tangentielle au cisaillement.

Le paramètre de Lamé µ



Il mesure le rapport de la contrainte tangentielle au cisaillement correspondant.
On l'appelle aussi module de cisaillement ou de rigidité.

Le module d' Young Y

C'est le rapport de la contrainte normale à la compression correspondante. Dans le cas d'une compression ou pression faible, les déformations sont proportionnelles aux tensions ou aux compressions appliquées.
On montre que:

Y n'est pas constant si le matériel n'est pas élastique de façon linéaire ou s'il est non élastique.
Y varie entre 1011 et 1012 dynes/cm2 dans la plupart des roches.

Le coefficient de Poisson (ou de contraction) σ

C'est le rapport de la compression dans une direction à l'extension dans la direction perpendiculaire. En effet, lorsqu'une tension est appliquée, on a un allongement du matériel considéré, mais également un amincissement dans la direction perpendiculaire à celle de la tension. Dans le cas d'une compression, on aura, au contraire, une diminution de la longueur de l'élément considéré et un épaississement suivant une direction perpendiculaire à celle de la compression).
On montre que

σ ne dépasse jamais 0,5; il est de l'ordre de 0,25 dans la plupart des métaux.

Incompréssibilité K


Il est caractérisé par le rapport de la variation de pression à la dilatation volumique.
On montre que :